Probabilités à l'Euromillions
L'Euromillions est une loterie transnationale très prisée en Europe. Comme son nom l'indique, les gains peuvent atteindre des montants astronomiques, souvent des centaines de millions d'euros. Cependant, la probabilité de remporter le jackpot est extrêmement faible. Analysons les chiffres pour mieux comprendre.
Règles de l'Euromillions :
Chaque joueur doit choisir 5 numéros parmi 50, ainsi que 2 étoiles parmi 12. Pour remporter le jackpot, il faut avoir les 5 bons numéros et les 2 bonnes étoiles.
Le calcul d'une combinaison C(n, k) est donné par la formule :
$$ C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$
Où :
- n est le nombre total d'éléments.
- k est le nombre d'éléments choisis.
Le nombre de combinaisons possibles pour les numéros est donné par la formule combinatoire :
Ce qui donne :
Pour les étoiles, le nombre de combinaisons est :
Ainsi, le nombre total de combinaisons possibles est :
En d'autres termes, la probabilité de remporter le jackpot à l'Euromillions est de 1 sur 139 838 160, soit environ 0,00000072 %.
Pour maximiser ses chances de gagner, il est toujours possible de jouer en groupe ou de participer à des systèmes de jeu qui augmentent le nombre de combinaisons jouées. Cependant, cela ne change pas la réalité mathématique : les probabilités restent extrêmement faibles.
Calculons maintenant les probabilités d'obtenir des combinaisons spécifiques à l'Euromillions en utilisant les combinaisons.
La formule générale pour une combinaison est donnée par :
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Le nombre total de combinaisons possibles pour les 5 numéros parmi 50 est :
\[ C(50, 5) = \frac{50!}{5!(50-5)!} = 2\,118\,760 \]
1. Avoir 1 bon numéro
1. Avoir 1 bon numéro sans numéro étoile
Le nombre de façons de choisir 1 bon numéro parmi les 5 tirés est donné par \( C(5, 1) \),
et le nombre de façons de choisir les 4 autres numéros parmi les 45 restants est \( C(45, 4) \). La probabilité d'avoir 1 bon numéro est donc :
\[ P(1 \, \text{bon numéro}) = \frac{C(5, 1) \times C(45, 4)}{C(50, 5)} = \frac{5 \times 148\,995}{2\,118\,760} \approx 0,3518 \, (35,18\%) \]
Soit 1 chance sur 2,84.
2. Avoir 1 bon numéro et 1 bonne étoile
Les étoiles sont tirées parmi 12, donc le nombre total de combinaisons pour les étoiles est \( C(12, 2) = 66 \). La probabilité d'avoir 1 bon numéro et 1 étoile est donc :
\[ P(1 \, \text{bon numéro + 1 étoile}) = \frac{C(5, 1) \times C(45, 4) \times C(2, 1) \times C(10, 1)}{C(50, 5) \times C(12, 2)} \approx 0,106548 \, (10,65\%) \]
Soit 1 chance sur 9,38.
3. Avoir 1 bon numéro et 2 bonnes étoiles
Pour avoir 1 bon numéro et 2 bonnes étoiles, nous devons prendre en compte le nombre de façons de choisir 1 bon numéro parmi les 5 tirés, le nombre de façons de choisir les 4 autres numéros parmi les 45 restants, et le nombre de façons de choisir 2 étoiles parmi les 2 tirées. La probabilité devient :
\[
P(1 \, \text{bon numéro + 2 étoiles}) = \frac{C(5, 1) \times C(45, 4) \times C(2, 2) \times C(10, 0)}{C(50, 5) \times C(12, 2)}
= \frac{5 \times 148995 \times 1\times 1}{2118760 \times 66}
\approx 0,0053 \, (0,532\%)
\]
Soit 1 chance sur 188.
1. Avoir 2 bons numéros
1. Avoir 2 bons numéros sans numéro étoile
Le nombre de façons de choisir 2 bons numéros parmi les 5 tirés est donné par \( C(5, 2) \),
et le nombre de façons de choisir les 3 autres numéros parmi les 45 restants est \( C(45, 3) \). La probabilité d'avoir 2 bons numéros est donc :
\[
P(2 \, \text{bons numéros}) = \frac{C(5, 2) \times C(45, 3)}{C(50, 5)} = \frac{10 \times 14190}{2\,118\,760} \approx 0,06696 \, (6,696\%)
\]
Soit 1 chance sur 15.
2. Avoir 2 bons numéros et 1 bonne étoile
Pour avoir 2 bons numéros et 1 bonne étoile, nous devons prendre en compte le nombre de façons de choisir 1 étoile parmi les 12 possibles. La probabilité devient :
\[
P(2 \, \text{bons numéros + 1 étoile}) = \frac{C(5, 2) \times C(45, 3) \times C(2, 1) \times C(10, 1)}{C(50, 5) \times C(12, 2)} = \frac{10 \times 14190 \times 20}{2\,118\,760 \times 66} \approx 0,0203 \, (2,03\%)
\]
Soit 1 chance sur 49.
3. Avoir 2 bons numéros et 2 bonnes étoiles
Pour avoir 2 bons numéros et 2 bonnes étoiles, nous devons prendre en compte le nombre de façons de choisir 2 étoiles parmi les 12 possibles. La probabilité devient :
\[
P(2 \, \text{num. + 2 ét.}) = \frac{C(5, 2) \times C(45, 3) \times C(2, 2) \times C(10, 0)}{C(50, 5) \times C(12, 2)} = \frac{10 \times 14190 \times 1 \times 1}{2\,118\,760 \times 66} \approx 0,001015 \, (0,1015\%)
\]
Soit 1 chance sur 985.
Résumé des Probabilités
A partir des éléments ci-dessus, nous pouvons extrapoler pour 3, 4 et 5 numéros et leurs étoiles. Pour arriver au récapituylatif suivant :
- 1 bon numéro : \( P \approx 0,3518 \, (35,18\%) \) soit une chance sur 2,84.
- 1 bon numéro + 1 étoile : \( P \approx 0,1065 \, (10,65\%) \) soit une chance sur 9,38.
- 1 bon numéro + 2 étoiles : \( P \approx 0,0053 \, (0,53\%) \) soit une chance sur 188.
- 2 bons numéros : \( P \approx 0,0670 \, (6,7\%) \) soit une chance sur 15.
- 2 bons numéros + 1 étoile : \( P \approx 0,02029 \, (2,3\%) \) soit une chance sur 49.
- 2 bons numéros + 2 étoiles : \( P \approx 0,00101 \, (0,1\%) \) soit une chance sur 985.
- 3 bons numéros : \( P \approx 0,00467 \, (0,467\%) \) soit une chance sur 213,45.
- 3 bons numéros + 1 étoile : \( P \approx 0,00142 \, (0,14\%) \) soit une chance sur 706.
- 3 bons numéros + 2 étoiles : \( P \approx 0,00007 \, (0,0071\%) \) soit une chance sur 14 125.
- 4 bons numéros : \( P \approx 0,000106 \, (0,0106\%) \) soit une chance sur 9 433,96.
- 4 bons numéros + 1 étoile : \( P \approx0,0000322 \, (0,003\%) \) soit une chance sur 31 075.
- 4 bons numéros + 2 étoiles : \( P \approx 0,0000016 \, (0,00016\%) \) soit une chance sur 621 502.
- 5 bons numéros : \( P \approx 0,00000047 \, (0,000047\%) \) soit une chance sur 2 118 760.
- 5 bons numéros + 1 étoile : \( P \approx 0,000000143 \, (0,000014\%) \) soit une chance sur 6 991 908.
- 5 bons numéros + 2 étoiles : \( P \approx 0,000000007 \, (0,00000072\%) \) soit une chance sur 139 838 160.
